PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

En este nivel se enseñará a resolver problemas que requieren el planteamiento de una ecuación lineal con una incógnita. Se verán principalmente problemas de números y de edades.

En el tema Ecuaciones I se ha aprendido a plantear enunciados para que se resuelvan con una ecuación lineal dada, pero es frecuente tener que hacer el paso inverso, es decir, "traducir" el enunciado de un problema en una ecuación para poder solucionarlo.

Ejemplo 1¿Qué tres números consecutivos (o seguidos) suman 96?
Si se denomina  al primer número, el segundo será  y el tercero será , puesto que tienen que ser consecutivos. Como el resultado de su suma es conocido se puede plantear la siguiente ecuación:

Ahora hay que resolverla:

El primer número será el 31, de modo que el segundo y el tercero serán el 32 y el 33, puesto que debían ser consecutivos. Pero hay que comprobar que el resultado es correcto:

Los pasos básicos a seguir ante los problemas con ecuaciones son los siguientes:

1. Leer y entender bien qué pregunta el problema. Si es necesario, hacer un dibujo.
2. Identificar todas las variables, tanto las que se facilitan como las que hay que averiguar.
3. Recopilar los datos que se dan.
4. Plantear una ecuación que relacione las variables con los datos para buscar la solución al problema.

Ejemplo 2Otro problema de números similar al anterior sería:
Tres números pares consecutivos suman 60. ¿De qué números se trata?
En este caso la diferencia es que los números tienen que ser pares. De modo que se denomina x al primer número;  al segundo y x+4 al tercero, ya que además de pares tienen que ser seguidos. Entonces se puede plantear y resolver la siguiente ecuación:

El primer número es el 18; el segundo será el 20 (x+2) y el tercero el 22 (x+4). Para comprobar si es correcto se pueden sumar para ver si realmente se obtiene 60:

También hay otro tipo de problemas numéricos,

Ejemplo 3Si la cuarta parte de un número es 20 unidades menor que su mitad, ¿cuál es el número?
Se llama x al número, de modo que  es su cuarta parte y  su mitad:

Se resuelve la ecuación:

Se puede comprobar si la igualdad se cumple al sustituir x por su valor:


Por lo tanto, el resultado es correcto.

Ahora, un ejemplo sobre edades:

Ejemplo 4Una hija tiene 32 años menos que su madre y ésta tiene tres veces la edad de la hija. ¿Cuántos años tiene cada una?
Se denomina x a la edad de la madre, puesto que la de la hija puede deducirse a partir de este dato, bastará con restarle 32 años.
En este caso puede resultar útil montar una tabla que resuma los datos de forma esquemática:

Edad madre	x
Edad hija	x-32

Si la edad de la madre es el triple que la de la hija se puede plantear la siguiente ecuación:

Se resuelve:

La madre tiene 48 años, de modo que la hija tiene 32 años menos, es decir, 16.

Otro ejemplo siguiendo con el tema de las edades:

Ejemplo 5Si un hijo tiene 15 años y su padre tiene el triple de años y 2 más, ¿cuántos años tienen que pasar para que la edad del padre sea el doble que la del hijo?
Se monta una tabla resumen teniendo en cuentra que se dan datos actuales y se piden los del futuro:

	Presente	Futuro
Hijo	15	15+x
Padre	(3·15)+2 = 47	47+x

Lo que hay que hallar es el tiempo, los años que tienen que pasar, que será lo que se denominará x. Para plantear la ecuación hay que tener en cuenta que, en el futuro, la edad del padre debe ser el doble que la edad del hijo, de modo que la relación será:

Se resuelve:

Parece que tendrán que pasar 17 años, pero mejor comprobarlo. La edad del hijo al cabo de 17 años será:

Y la del padre será:

Que, efectivamente, es el doble que la del hijo.