sábado, 30 de abril de 2011

TALLER DE FUNCIONES

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES SEGUN SU CLASE

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS


EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE MATEMATICA I

DOCENTE: MG. CARMEN CHARRIS


Calcular los dominios de las siguientes funciones:

Cálculo numérico de dominios de funciones.

CALCULO DE DOMINIOS: MAXIMOS Y MINIMOS



Cálculo de dominios. Máximos y mínimos                 

Máximos y mínimos, puntos de corte con los ejes y discontinuidad

Máximos y Mínimos

  • Máximos: extremos superiores que puede presentar una función. Cuando en un punto existe una rama creciente por su izquierda y decreciente por su derecha hay un máximo.
  • Mínimos: extremos inferiores que puede presentar una función. Cuando en un punto de la función existe una rama decreciente por su izquierda y una rama creciente por su derecha.

Puntos de corte con los ejes

  •  Eje x: la función vale cero. Las coordenadas son ( x, 0)
  •  Eje y: la x vale cero. Las coordenadas son ( 0, y )

Continuidad y discontinuidad

  • Continuidad: una función es continua cuando lo es en todos sus puntos. ( para dibujarla no tenemos que levantar el lápiz del papel)
  • Discontinuidad: una función es discontinua en un punto cuando no esta definida en ese punto. No podemos leer función en ese punto y sí en cualquier punto de su entorno. ( para dibujarla hay que levantar el lápiz del papel).

Ejemplos

1.  Polinómica: dominio, crecimiento y decrecimiento, continuidad, máximos y mínimos.
Función polinómica, máximos y mínimos.

  • Dominio: Dominio f(x) = R
  • Puntos de corte
    • Eje x: (-4,0), (-1,0), (3,0)
    • Eje y: (-3, 0)
  • Continuidad: Es continua en R (no hay saltos)
  • Crecimiento y decrecimiento. Miramos el eje x de izquierda a derecha y vemos que:
    • Desde x (menos infinito vadenumeros.es , -2] creciente
    • Desde x [ -2, 0] decreciente
    • Desde x [ 0, mas infinito vadenumeros.es) creciente
  • Máximos: ramas creciente-decreciente Máximo en (-2, 2)
  • Mínimos: ramas decreciente-creciente Mínimo en ( 0, -3)
2.  Racional: dominio, crecimiento y decrecimiento, continuidad, máximos y mínimos.
Dominio de una función racional.

  • Dominio f(x): R - { 0 } . En x = 0 la función no existe.
  • Puntos de corte: no corta a los ejes
  • Continuidad: la función es discontinua en x = 0, hay un salto. Podemos leer función por la izquierda y por la derecha de x = 0 pero no en x = 0.
  • Crecimiento y decrecimiento: las dos ramas de la función son decrecientes.
  • Máximos y mínimos: no tiene, la función es siempre decreciente.
  • Tendencia: cuando x tiende a menos infinito vadenumeros.es, y cuando x tiende a mas infinito vadenumeros.es , la función tiende a 0.
3.  Racional: dominio, crecimiento y decrecimiento, continuidad, máximos y mínimos.
Dominio y crecimiento de una función racional.

  • Dominio f(x): R - { -1, 1 }
  • Puntos de corte: no corta a los ejes
  • Continuidad
    • La función es discontinua en x = -1, hay un salto.
    • La función es discontinua en x = 1, hay un salto.
  • Crecimiento y decrecimiento
    • Crece desde ( menos infinito vadenumeros.es, -1) U (-1, 0]
    • Decrece desde [0, -1) U (-1, mas infinito vadenumeros.es)
  • Máximos y Mínimos: tiene un máximo en el punto (0, -1)
  • Tendencia: cuando x tiende a menos infinito vadenumeros.es , y cuando x tiende amas infinito vadenumeros.es , la función tiende a 0.



LEYENDO GRAFICAS DE FUNCIONES


Leyendo Gráficas de funciones

Leer puntos en un sistema de coordenadas cartesianas

  • El sistema de coordenadas cartesianas está formado por el eje ox, eje de abscisas y el eje oy, eje de ordenadas.
  • Eje ox : Puede tomar valores muy pequeños al menos infinito, o valores muy grandes al + infinito. Para leer lo hacemos de izquierda a derecha como escribimos.
  • Eje oy: Puede tomar valores muy pequeños con tendencia al menos infinito, o valores muy grandes con tendencia al + infinito. Leemos de abajo a arriba.
  • Para leer un punto en un sistema de coordenadas necesitamos dar la coordenada de x y la coordenada de y.
  • Se ha establecido que el primer valor corresponde a la coordenada x y el segundo a la coordenada y. Los valores del punto se escriben entre paréntesis y separados por una coma.

Dominio

Conjunto de todos los valores que toma la variable independiente, la x. Leemos de izquierda a derecha en el eje x y vemos para que valores hay función.

Crecimiento y decrecimiento

  • Función creciente: una función es creciente cuando al aumentar los valores de x aumentan los valores de y, o al disminuir los valores de x disminuyen los valores de y. La diferencia entre los valores de x se llama tasa de variación.
  • Función decreciente: una función es decreciente cuando su tasa de variación es negativa. Al aumentar los valores de x disminuyen los valores de y, o viceversa.
  • Función constante: una función es constante cuando su tasa de variación es nula.

Tendencia

  • Es el valor al que tiende la función para determinados valores de x.
  • Para valores de x muy grandes: se localiza el valor de x y se mira el valor de la función.
  • Para valores de x muy pequeños: se localiza el valor de x y se mira el valor de la función.
  • Para cualquier valor de x: se mira la tendencia de la función en el valor que sea.

Ejemplos

1.  Leer puntos, dominio y crecimiento
Leer puntos, dominio y crecimiento.
  • Leer puntos
    • B (3,2) La x vale 2 y la y 3.
    • C(4,4) La x vale 4 y la y 4
  • Dominio: miramos al eje x y vemos que la función empieza en x = 0 y no termina. Dominio [ 0,mas infinito vadenumeros.es)
  • Crecimiento: cogemos B y C. Para B la x = 3 y la función 2. Para C la x vale 4 y la función 4. Al aumentar el valor de x aumenta el de y. Función creciente.
 
2.  Representar puntos, dominio, tendencia y decrecimiento
Representar puntos, tendencia y dominio.
  • Representar puntos: representar el punto C (3,1) buscamos en el eje x el valor x = 3 y subimos hasta encontrarnos con el valor y = 1. El punto donde coinciden las dos coordenadas es el punto C.
  • Dominio: miramos al eje x y vemos que la función empieza en x = 0. Para valores de x grandes seguiríamos leyendo función.Dominio [ 0,mas infinito vadenumeros.es )  
  • Tendencia: la función tiende a 0, cuando x tiende a mas infinito vadenumeros.es .
  • Decrecimiento: cogemos los puntos B y C. Para B la x = 1 y la función vale 3. Para C la x vale 3 y la función 1. Al aumentar el valor de x disminuye el de y. Función decreciente
 
3.  Dominio, crecimiento y decrecimiento
Dominio, crecimiento y decrecimiento de una función.
  • Dominio [ - 1, mas infinito vadenumeros.es)
  • Crecimiento y decrecimiento
    • Creciente [-1, 4]
    • Decreciente [4, mas infinito vadenumeros.es)

CLASES Y GRAFICAS DE FUNCIONES REALES

Dominio y recorrido de funciones polinómicas y racionales.






Dominio de funciones irracionales y logarítmicas.




jueves, 28 de abril de 2011

FUNCION REAL DE VARIABLE REAL


FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Se llama función real de variable real  a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x deD le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

                                           
                                             

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

· El conjunto inicial o dominio de la función.
· El conjunto final o imagen de la función.
· La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.
Así, por ejemplo, la función definida por:

                                           
                                              

asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

La regla de asignación es «dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen».



Ejemplo:
 Hallar el campo de existencia de la función f definida por

Resolución:
· La función anterior asigna a cada número x, el valor

El campo de existencia está formado por todos los números reales x, para los que su imagen está definida mediante la función f.

aquellos que anulen el denominador, puesto que la expresión 1/0 no es un número real. El denominador x - 2 se anula cuando x = 2.

Por tanto, el campo de existencia de la función es R - {2}.

Su representación mediante intervalos es C.E. = (-¥, 2) È (2, +¥)


Resolución:
cero, puesto que las raíces cuadradas de los números negativos no tienen sentido en el conjunto de los números reales.


Luego C.E. = (-¥, -3] È [3, +¥).





· Por tanto, al campo de existencia pertenecen todos los números reales excepto el 3 y el -2.

-3, 0, 3 y 5. ¿Cuál es su dominio de definición? ¿Hay algún número que se transforme en el 0?

Resolución:

               
                       

· Campo de existencia:

El denominador nunca se hace cero, ya que x2 + 2 > 0 para cualquier x. Si
de existencia de esta función es toda la recta real R.

· Para responder a la pregunta siguiente, hay que estudiar si existe algún número x, tal que f(x) = 0.

lunes, 25 de abril de 2011

EXPOSICIONES DE GEOMETRIA


DE: MATEMATICA
DOCENTE: Mg. CARMEN CHARRIS
PARA: GRUPOS 12-13-17
ASUNTO: EXPOSCIONES DE GEOMETRIA

Cordial saludo

A todos los estudiantes de matematica de los grupos 12-13 y 17 se le informa que para el tercer seguimiento se tienen programadas exposiciones, las cuales estan distribuidas por los siguientes grupos de temas:

TEMA 1: AREA DE FIGURAS
TEMA 2: REGIONES POLIGONALES Y SUS AREA
TEMA 3: PROPORCIONES Y SEMEJANZAS
TEMA 4: TEOREMA DE PITAGORAS Y APLICACION
TEMA 5: ANGULOS Y SEMEJANZAS
TEMA 6: IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Y SUS APLICACIONES

El trabajo tiene un puntaje de 40, los cuales 20 puntos son para el trabajo en fisico y enviado a correo de la profesora y el restante 20 puntos para la evaluacion de los expositores, si son 5 estudiantes cada uno expone lo suyo por un valor un valor de 4 puntos, si son 4 estudiantes cada uno tiene un valor de 5 puntos.

Para la evaluación de la exposición, se tendrá en cuenta:
Dominio del tema, seguridad y confianza en la exposición, excelente oralidad y manejo del lenguaje matemático, Buen manejo de recursos, Desarrollo del taller complementario (se entrega fotocopia del taller).

El trabajo en físico debe aplicar las normas de icontec.
El trabajo debe llevar una hoja de presentación, una introducción  o presentación, objetivos, justificación, desarrollo del tema con gráficos o imágenes, Taller complementario, conclusiones, logros alcanzados, bibliografía o webgrafia.

Para la exposición, el grupo de estudiantes debe preparar unas presentaciones en PowerPoint y debe presentar al grupo un taller complementario en físico en una o dos hojas, para la sección de trabajo.

Para el grupo 12, los responsables son:

Wendy Polo- tema 1
Carlos Ruiz o Henry Alcina- tema 2
Maria Agudelo- Tema 3
Jesus Narvaez- tema 4
Ana Ardila - tema 5
Jorge Batista - Tema 6

fechas para las exposiciones:

Para el grupo 12:
Miércoles 27 de abril- tema 1 y tema 2..........de 2 a 5 de la tarde............sede centro
Martes 3 de mayo: tema 3 y tema 4...............de 2 a 5 de la tarde...............sede centro
Miercoles 4  de mayo: tema 5 y tema 6............ de 2 a 5 de la tarde..............sede centro

Para el grupo 13:
Viernes 6 de mayo: tema 1, tema 2, tema 3........de 3 a 6 de la tarde......sede principal
Sabado 7 de mayo: tema 4, tema 5 y tema 6......de 7 a 10 de la mañana.....sede centro

Para el grupo 17:
Viernes 6 de mayo: tema 1, TEMA 2 y tema 3...........de 1 a 3 de la tarde............sede centro
Sabado 7 de mayo: tema 4, TEMA 5 y tema 6............de 2 a 5 de la tarde...........sede CENTRO


Es obligatorio que los estudiantes asistan a las exposiciones de
 sus grupos en el horario a que corresponda.
Esta fechas son obligatorias.

lunes, 11 de abril de 2011

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

 CONOCIMIENTOS PREVIOS


PAR ORDENADO

Un par ordenado es un tupla de dos elementos, tal que uno puede ser distinguido como el primero y el otro como el segundo. Un par ordenado con primer elemento a y con segundo elemento b es escrito usualmente como (ab). Dos pares ordenados cumplen:
(ab) = (cd) si y sólo si a = c y b = d
No es lo mismo (a,b) que (b,a) en otras palabras (a,b) es diferente de (b,a).


PRODUCTO CARTESIANO:
Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: 



x B = {(x, y) / x Î A Ù y Î B}.


En consecuencia: 

(x, y) Î A x B Û x Î A Ù y Î B

(x, y) Ï A x B Û x Ï A Ú y Ï B

Ejemplo 1: 

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: 
x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.





REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO:

       DIAGRAMA SAGITAL                                     
      


PLANO CARTESIANO
    

Archivo:Cartesian-coordinate-system.svg




                                                                    DIAGRAMA DE ÁRBOL






RELACIONES

Una relación es un subconjunto del producto cartesiano que cumple con una determinada condición. Las relaciones entre conjuntos forman pares ordenados partiendo de una condición dada.

Por ejemplo:  Dados los conjuntos:

A = {1; 3; 4}  y
B = {2; 8; 9};

Encontrar un conjunto C, cuyos pares ordenados cumplan con la condición "Doble de"
El Conjunto formado por los primeros componentes de cada par de la relación se llama DOMINIO.

EL Conjunto formado por los segundos componentes de cada par de la relación se llama CODOMINIO.

Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación; propiedades:  reflexiva, simétrica y transitiva.

Propiedad Reflexiva


Se refiere a que todos los elementos de un conjunto tienen relación consigo mismo. Se representa a R a. 

Propiedad Simétrica


Si un elemento del primer conjunto se relaciona con un elemento del segundo conjunto, este a su vez se relaciona con el elemento del primer conjunto. 

Propiedad Transitiva


Un elemento de un conjunto se relaciona con otro y este a su vez con un tercero, por tanto el primer elemento mantiene relación con el tercero.

Relación de orden

Es aquella en que los elementos pueden ordenarse y cumple con las propiedades reflexiva y simétrica.

Ejemplo:

Dado el conjunto A = {1, 2, 3}, y la relación de orden "Mayor que";

a) reflexiva,
b) simétrica y;
c) transitiva.

a) Propiedad reflexiva:

  1 no es mayor que 1

b) Propiedad simétrica:

  2 es mayor que 1
  1 no es mayor que 2

c) Propiedad Transitiva

  3 es mayor que 2
  2 es mayor que 1
  Por tanto 3 es mayor que 1

Relación de equivalencia

Es la relación que cumple con las tres propiedades: Reflexiva, Simétrica y Transitiva.

Ejemplo: Dada la relación "Ser igual"

Propiedad Reflexiva: a = a

Propiedad Simétrica: Si a = b, entonces b = a

Popiedad Transitiva: Si a = b y b = c, entonces a = c



CONCEPTO DE FUNCIÓN:
Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento x\in X con un (y sólo un) y\in Y se denota f(x)=y\,, en lugar de (x,y)\in f.
Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:
  1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir, \forall x\in X,\ \exists y\in Y\ \backslash \ (x,y)\in f.
  2. Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si (x,y_1)\in f \and (x,y_2)\in f \Rightarrow y_1 = y_2.


Ejemplo

  • La función definida por f(x)=x+1\,, tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales (\mathbb{R}).
Función con Dominio X y Rango Y
  • Para la función g \colon {\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}} tal que g(x)=x^2\,, en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a \mathbb{R}, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +.
  • En la figura se puede apreciar una función f \colon X \to Y \,, con
{\rm D}_f = X = \{1, 2, 3,4\} \,
{\rm C}_f \ = \; Y = \{a, b, c, d \} \,
Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el1 y el 4). Finalmente,
{\rm Im}_f = \{b, c, d\}\subseteq Y.
Esta función representada como relación, queda: X\times Y = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,b) \}