ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES

La expresión:

Es una ecuación, es decir, una igualdad que se cumple para un valor de x.

El lado izquierdo de la igualdad se denomina primer miembro de la ecuación y el derecho, segundo miembro. En la igualdad hay números conocidos (-1 y 7) y otros que no lo son (x). Son los términos de la ecuación: x es la incógnita, puesto que es el número que se debe hallar, y-1 y 7 son términos independientes, porque no están asociados a ninguna incógnita.

Todas las ecuaciones que se tratarán en este tema se denominan lineales o de primer grado porque la potencia a la que está elevada la incógnita es 1, o lo que es lo mismo, que las incógnitas no tienen exponentes.

Volviendo al ejemplo, lo que está preguntando la ecuación es: ¿qué número da 7 si se le resta 1?

La respuesta casi inmediata es 8.Se puede comprobar si dicho número cumple la igualdad sustituyendo en la ecuación x por 8:


Y, efectivamente, 8 es la solución, puesto que la igualdad se cumple.

¿Podría ser -6 otra solución? Se comprueba de nuevo sustituyendo x por dicho número:


La igualdad no se cumple, así que -6 no es solución a la ecuación.

Se puede aplicar el mismo razonamiento a la siguiente ecuación:


Es decir, ¿qué número multiplicado por 2 da 12? No hay que pensar mucho para concluir que es el 6. Se sustituye x por dicho número para comprobar que la deducción es cierta:


La igualdad se cumple, por lo que 6 es solución de la ecuación.

Habitualmente, las ecuaciones no son tan sencillas, en el sentido que no siempre es tan fácil deducir su solución como en los casos anteriores.

Para resolver ecuaciones hay un método bastante efectivo que se resume en los siguientes puntos:

1. Agrupar los términos con incógnita a un lado de la igualdad, normalmente el primer miembro, y los independientes al otro.
2. Operar siempre que sea posible para simplificar la expresión. Esto implica quitar paréntesis y denominadores si los hubiera.
3. Despejar la incógnita.

Ejemplo 1Al aplicar el método a los ejemplos anteriores:

Para pasar elementos de un lado a otro de la igualdad hay que tener en cuenta que:

1. Si están sumando o restando pasan al otro lado con el signo contrario.

Ejemplo 2

2. Si están multiplicando pasan dividiendo y viceversa, pero el signo no se modifica al cambiar de lado.

Ejemplo 3Siguiendo con la misma ecuación del ejemplo:

Ejemplo 4Apliquemos los pasos para resolver ecuaciones al siguiente ejemplo:


El primer paso es agrupar los términos con x en el primer miembro. Para ello se pasa el 3 al segundo, teniendo en cuenta que cambia de lado con el signo contrario:


Se opera el segundo miembro:


Ahora hay que deshacerse del -2 que está multiplicando a x. El producto, como en este caso, pasa al otro lado de la igualdad como cociente, pero sin cambiar de signo, de modo que:


Para comprobar si el resultado es correcto se sustituye el valor hallado para x:


El resultado es correcto, puesto que se cumple la igualdad.

Ejemplo 5Un último ejemplo:


Se empieza aislando los términos con x en el primer miembro. Para ello se pasa el 1 al segundo, concretamente con el signo contrario:


Si operamos el segundo miembro:


Y ahora se pasa el elemento que está dividiendo x entre 2. Para ello hay que tener en cuenta que un cociente pasa al otro lado multiplicando (y sin cambiar
de signo), de modo que:


Se comprueba que el resultado es correcto sustituyendo el valor hallado para x:

El valor obtenido es, de nuevo, válido.

A veces hay ecuaciones lineales con una incógnita que no tienen solución.

Ejemplo 6
Si se aplica el método y se aíslan todos los términos con x en el primer miembro y el término independiente en el segundo se obtiene:


Ahora hay que aplicar el mínimo común múltiplo (Tema Divisibilidad):


La incógnita desaparece al realizar las operaciones. Cuando esto ocurre se dice que la ecuación no tiene solución.

Una herramienta útil a la hora de plantear problemas con literatura es saber escribir una ecuación a partir de su solución. Vamos a ver como escribir una ecuación que queremos que tenga una solución concreta.

Ejemplo 7Queremos escribir una ecuación que tenga solución el valor 7. Se escribe de la siguiente manera: .
Si restamos 3 a ambos lados de la igualdad, nos dará la misma solución: .
Multiplicamos ahora por 2 a ambos lados de la igualdad:




Si evaluamos 7 en la ecuación tendremos que es una solución



Esta ecuación  se podría plantear tras leer el siguiente enunciado: “Hace 3 años, el doble de mi edad era 8. ¿Cuántos años tengo ahora?”.

ECUACIONES EQUIVALENTES

La ecuación:


Tiene como solución:


Mientras que en esta otra ecuación:


La solución es:


Cuando dos ecuaciones tienen la misma solución se dice que son ecuaciones equivalentes.

Hay un par de reglas básicas para generar ecuaciones equivalentes:

1. Cuando se suma o se resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación se consigue una ecuación equivalente.
   
   Ejemplo 1En el primer ejemplo, si se suma 3 a ambos lados de la igualdad se obtiene:
   
   
   Esta ecuación es totalmente equivalente a la primera.
   Se puede verificar comprobando que tienen el mismo resultado:
   
   .
2. Al multiplicar o dividir un mismo número a los dos miembros de la ecuación también se consigue una ecuación equivalente.
   
   
   Ejemplo 2Por ejemplo, si se multiplica por 2 ambos lados de la ecuación inicial si tiene:
   
   
   La ecuación obtenida es equivalente a la inicial. Se comprueba resolviéndola:
   .

Este último punto es interesante para eliminar denominadores de las ecuaciones, con lo que se simplifican y se facilita su resolución.

Ejemplo 3En la siguiente ecuación:

Si se multiplica por 3 se elimina el denominador:

Esta segunda ecuación es equivalente a la inicial y es casi directa de resolver:

Tener soltura para generar ecuaciones equivalentes es útil para crear ítems. El punto de partida para plantear una ecuación es conocer su resultado de antemano.

Ejemplo 4Por ejemplo, si se quiere que x=2 la siguiente ecuación es una posibilidad:


Puesto que si se sustituye el resultado se mantiene la igualdad:


Ahora se puede generar una ecuación equivalente para hacer que la ecuación parezca más complicada. Por ejemplo, se puede desglosar el término -5 en la expresión -3-2 y moverlos de posición:


También se puede desglosar la incógnita. Por ejemplo: se puede expresar 2x como 5x-3x, pero pasando el -3x al otro lado de la igualdad, con lo que cambia de signo:


Ahora, si se opera el primer miembro se obtiene:


En este caso se puede sacar factor común al primer miembro (5), con lo que se consigue introducir un paréntesis:


Finalmente, se puede multiplicar toda la ecuación por mismo número, por ejemplo el 2:


Todas las ecuaciones planteadas hasta el momento son equivalentes a la inicial y, por tanto, tienen como solución x=2.

En este nivel se enseñará a plantear problemas que se resuelvan a partir de una ecuación dada.

Por ejemplo, la ecuación:


Tiene como solución:

Partiendo de estas premisas se puede plantear un problema real que se resuelva mediante la ecuación descrita. Un recurso sencillo es plantear un enunciado sobre números, "traduciendo"a palabras lo que implica la ecuación en sí, es decir:

Si a un número se le suma 14 se obtiene el triple de dicho número. ¿De qué número se trata?

Si se denomina x al número, el triple será 3x, con lo que ya se puede plantear y resolver la ecuación mencionada. Como el resultado ya es conocido se sabe de antemano que la solución es 7, pero se sustituye para comprobar que el resultado es válido:


Es decir, 7 más 14 es igual a 21, es decir, el triple de 7.

Este mismo tipo de problema se podría plantear con objetos reales, como monedas, caramelos, etc.

Por ejemplo:

En una tienda de golosinas un niño compra 14 piruletas, con lo que consigue tener el triple de las que tenía. ¿Cuántas tenía inicialmente?

El problema se resuelve con la misma ecuación inicial, puesto que x+14 representa la cantidad de piruletas que tiene después de la compra y3x es el triple de la cantidad inicial. Por tanto, la solución es que inicialmente tenía 7 piruletas.

Para esta otra ecuación:

La solución es:

Y un posible problema sería:

Calcula cuál es el número que al sumar su doble más su tercera parte es igual a 77.

El número es el 33, puesto que, efectivamente, el doble de 33 (66) y su tercera parte (11) suman 77:

Siguiendo en el ámbito de las golosinas, un enunciado alternativo podría ser el siguiente:

¿Cuántos chicles tiene un niño si dice que el doble de dicha cantidad más su tercera parte es igual a 77?

El doble de la cantidad será 2x, mientras que la tercera parte de dicha cantidad es x/3. Así que la ecuación sirve para resolver el problema, con lo que el niño tiene 33 chicles.

Y otro enunciado más podría ser jugando con las edades de una persona, por ejemplo:

¿Cuántos años tiene María si el doble de su edad y un tercio de la misma suman 77?

Si la edad de María es x, el doble es 2x y un tercio es x/3. Así que la ecuación también sirve para resolver el problema, de modo que María tiene 33 años.