ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación como  se dice que es de segundo grado porque el exponente de la x (que es la incógnita) está elevado a 2 (una ecuación como por ejemplo , ya no sería de segundo grado, sino de tercero).

La forma general de una ecuación de este tipo es    

En donde x es la incógnita y a, b, c son números cualesquiera.

La fórmula que nos permite resolver este tipo de ecuaciones es la siguiente:

En esta operación final aparece un signo , y es que, en principio, una ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones diferentes, una de ellas se obtiene cuando utilizamos el + y la otra cuando utilizamos el -.

Ejemplo 1Vamos a aplicar esta fórmula a la ecuación   .
Escribimos los valores de a, b y c :

a = 1
b = 3
c = -10

y los sustituimos en la fórmula
  
Y nos da dos soluciones diferentes:


De manera que la ecuación propuesta tiene como soluciones 2 y -5.
En la mayoría de los libros de texto las soluciones se indican escribiendo un subíndice en la letra x, de manera que en nuestro caso tendríamos:

Las soluciones de la ecuación se llaman raíces. Es lo mismo decir que 2 y -5 son las soluciones, que decir que las raíces de la ecuación  son 2 y -5.

Veamos otros ejemplos:

Ejemplo 2Resolver la ecuación  .a=6
b=-5
c=-4

Ejemplo 2 Encontrar las soluciones de la ecuación   .
a=1
b=1
c=-2

Ejemplo 3 ¿Cuales son las raíces de  ?
a=2
b=-5
c=-1

Ejemplo 4Resolver .
a=1
b=0
c=-16


con lo que las soluciones serán

Ejemplo 5Encontrar las raíces de .
a=2
b=-4
c=0

Ejemplo 6A veces los términos de la ecuación están agrupados de diferente forma, como en  en cuyo caso basta con pasarlo todo al primer miembro 
En otros casos puede que la incógnita no esté representada por la letra x, como en , lo que no cambia las cosas. Las soluciones para esta ecuación son

Es importante recordar que la raíz cuadrada de un número negativo no existe dentro del conjunto de los números reales. Cuando nos encontremos en un caso así diremos que la ecuación no tiene soluciones en .

Ejemplo 7Encontrar las raíces de 
a=1
b=2
c=5

Esta ecuación no tiene soluciones en .

En este segundo nivel se plantean y resuelven ejercicios en los que la ecuación de segundo grado tiene un aspecto muy diferente del habitual.

DISCRIMINANTE DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

El discriminante de una ecuación de segundo grado    es un número que indicamos con la letra D (en algunos textos se utiliza la letra griega ) cuyo valor se calcula de la siguiente forma:
  

Ejemplo 1     
        
               

De manera que el discriminante es lo que en la solución general de la ecuación figura dentro de la raíz cuadrada

 

Cuando el discriminante valga cero, la ecuación tendrá una solución única (también se dice que la ecuación tiene una solución doble).

Si es menor que cero, como no existen las raíces de números negativos, la ecuación no tendrá soluciones.

• D > 0  dos soluciones. 
• D = 0  solución única. 
• D < 0 no tiene soluciones en .

Ejemplo 2En los ejemplos anteriores podemos afirmar, sin necesidad de resolver las ecuaciones que:

       tiene dos soluciones, ya que D = 49 > 0
         no tiene soluciones ya que D = -16 < 0
      tiene una solución única, ya que D = 0