FACTORIZACION

FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO

El proceso de factorización de un polinomio consiste en encontrar todas sus raíces.

A este nivel, existen diferentes técnicas para encontrar las raíces de un polinomio. A continuación explicaremos las más destacadas:


Uso de identidades notables

La idea es utilizar las identidades notables pero al revés. Por ejemplo, si sabemos que:
 
Está claro que lo podemos aplicar al revés:
 
Por lo tanto, si tenemos un polinomio como el siguiente:  Que si nos fijamos es:  Y aplicando la fórmula:  Esto es, 4 y -4 son las raíces del polinomio 

Ejemplo 1

Factorizar el polinomio siguiente:
 Si nos fijamos un poco, vemos que el polinomio anterior corresponde a un cuadrado de la diferencia:

Por lo tanto, el polinomio tiene x=3 como raíz.


Ejemplo 2

Factorizar el polinomio siguiente:
 Si nos fijamos, vemos que el polinomio anterior corresponde al cubo de una suma:

Por lo tanto, el polinomio tiene x=-4 como raíz.


Uso de las fórmulas para solucionar ecuaciones cuadráticas

Si tenemos un polinomio p(x) de grado 2, podemos igualarlo a 0 y encontrar la solución de la ecuación cuadrática p(x)=0 . Dichos valores solución serán las raíces del polinomio p(x).

Ejemplo 3

Factorizar el polinomio siguiente:
 Debemos solucionar la siguiente ecuación:
 Aplicamos la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática:

Por lo tanto, el polinomio tiene x=2 y x=-1 como raíces.


Ejemplo 4

Factorizar el polinomio siguiente:
 Debemos solucionar la siguiente ecuación:
 Aplicamos la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática:

Por lo tanto, el polinomio tiene x=3 y x=-2 como raíces.



Uso de las fórmulas para solucionar ecuaciones bicuadráticas

Si tenemos un polinomio p(x) de grado 4 y exponentes pares, podemos igualarlo a 0 y encontrar la solución de la ecuación bicuadrática p(x)=0. Dichos valores solución serán las raíces del polinomio p(x).

Ejemplo 5

Factorizar el polinomio siguiente:
 Debemos solucionar la siguiente ecuación:
 Realizamos el cambio de variable :  Aplicamos la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática:
 Ahora deshacemos el cambio:
 Por lo tanto, el polinomio tiene x=2, x=-2, x=1 y x=-1 como raíces.


Ejemplo 6
Factorizar el polinomio siguiente:
 Debemos solucionar la siguiente ecuación:
 Realizamos el cambio de variable :  Aplicamos la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática:
 
Ahora deshacemos el cambio:
 
Por lo tanto, el polinomio tiene x=3, x=-3, x=1 y x=-1 como raíces.



Uso del teorema del factor

Para polinomios de grado superior, nuestra única herramienta es utilizar el teorema del factor.

De esta manera, para encontrar las raíces de un polinomio solamente hará falta que evaluemos el polinomio para los valores de x que sean divisores del término independiente, y los valores en que la expresión resulte nula, serán las raíces del polinomio. Con unos ejemplos visualizaremos el procedimiento:

Ejemplo 7

Factorizar el polinomio siguiente:

Tal y como vimos en las propiedades del teorema del factor, si a es raíz de p(x), entonces p(a)=0. Ahora bien, qué valor toma a? Existen una propiedad que nos será extremadamente útil:

Si a es una raíz de p(x), a es un divisor del término independiente de p(x)

En nuestro caso, los divisores del término independiente del polinomio (de valor 2) son:

Por lo tanto, solamente hace falta evaluar dichos valores en el polinomio y aplicar el teorema del factor:

Así pues, las raíces de p(x) son x=1 y x=2.


Ejemplo 8

Factorizar el polinomio siguiente:

Los divisores del término independiente del polinomio (de valor 7) son:

Por lo tanto, solamente hace falta evaluar dichos valores en el polinomio y aplicar el teorema del factor:

Así pues, las raíces de p(x) son x=1 y x=-7.