FUNCIONES DE VARIABLE REAL

 CONOCIMIENTOS PREVIOS


PAR ORDENADO

Un par ordenado es un tupla de dos elementos, tal que uno puede ser distinguido como el primero y el otro como el segundo. Un par ordenado con primer elemento a y con segundo elemento b es escrito usualmente como (a, b). Dos pares ordenados cumplen:

(a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d

No es lo mismo (a,b) que (b,a) en otras palabras (a,b) es diferente de (b,a).


PRODUCTO CARTESIANO:
Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: 



A x B = {(x, y) / x Î A Ù y Î B}.

En consecuencia: 

(x, y) Î A x B Û x Î A Ù y Î B

(x, y) Ï A x B Û x Ï A Ú y Ï B

Ejemplo 1: 

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: 

A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.

REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO:

       DIAGRAMA SAGITAL                                     

      

PLANO CARTESIANO

    

                                                                    DIAGRAMA DE ÁRBOL

RELACIONES
Una relación es un subconjunto del producto cartesiano que cumple con una determinada condición. Las relaciones entre conjuntos forman pares ordenados partiendo de una condición dada. Por ejemplo:  Dados los conjuntos: A = {1; 3; 4}  y B = {2; 8; 9}; Encontrar un conjunto C, cuyos pares ordenados cumplan con la condición "Doble de"
El Conjunto formado por los primeros componentes de cada par de la relación se llama DOMINIO. EL Conjunto formado por los segundos componentes de cada par de la relación se llama CODOMINIO. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación; propiedades:  reflexiva, simétrica y transitiva.
Propiedad Reflexiva
Se refiere a que todos los elementos de un conjunto tienen relación consigo mismo. Se representa a R a.
Propiedad Simétrica
Si un elemento del primer conjunto se relaciona con un elemento del segundo conjunto, este a su vez se relaciona con el elemento del primer conjunto.
Propiedad Transitiva
Un elemento de un conjunto se relaciona con otro y este a su vez con un tercero, por tanto el primer elemento mantiene relación con el tercero.
Relación de orden
Es aquella en que los elementos pueden ordenarse y cumple con las propiedades reflexiva y simétrica. Ejemplo: Dado el conjunto A = {1, 2, 3}, y la relación de orden "Mayor que"; a) reflexiva, b) simétrica y; c) transitiva. a) Propiedad reflexiva:   1 no es mayor que 1 b) Propiedad simétrica:   2 es mayor que 1   1 no es mayor que 2 c) Propiedad Transitiva   3 es mayor que 2   2 es mayor que 1   Por tanto 3 es mayor que 1
Relación de equivalencia
Es la relación que cumple con las tres propiedades: Reflexiva, Simétrica y Transitiva. Ejemplo: Dada la relación "Ser igual" Propiedad Reflexiva: a = a Propiedad Simétrica: Si a = b, entonces b = a Popiedad Transitiva: Si a = b y b = c, entonces a = c CONCEPTO DE FUNCIÓN: Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento  con un (y sólo un)  se denota , en lugar de  Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones: Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir,  Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si  Ejemplo La función definida por , tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales  Función con Dominio X y Rango Y Para la función  tal que , en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞. En la figura se puede apreciar una función , con Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el1 y el 4). Finalmente, Esta función representada como relación, queda: