FRACCIONES ALGEBRAICAS

FRACCIONES ALGEBRAICAS

En el tema de Polinomios, vimos que no siempre el resultado de dividir dos polinomios era un polinomio, en algunas ocasiones, nos encontrábamos con fracciones algebraicas.

Primeramente, recordaremos la definición: una fracción algebraica es un cociente de polinomios.

Veamos algunos ejemplos:




A partir de aquí, repasaremos algunas propiedades importantes de las fracciones algebraicas.


FRACCIONES EQUIVALENTES

De manera análoga a las fracciones, podemos definir que dos fracciones algebraicas son equivalentes si su producto en cruz es igual. Esto es, si tenemos:


dos pares de fracciones algebraicas, serán equivalentes si, y sólo si: 

Ejemplo 1

Veamos si este par de fracciones algebraicas son equivalentes:  Para comprobarlo, realizaremos los productos cruzados: 
Que evidentemente no son polinomios iguales. Por lo tanto, las fracciones anteriores no son equivalentes.


Ejemplo 2

Veamos si este par de fracciones algebraicas son equivalentes: 
Para comprobarlo, realizaremos los productos cruzados: 
Efectivamente, son iguales, y por lo tanto, las fracciones anteriores son equivalentes.



SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES

Dada una fracción algebraica, si el numerador y el denominador tienen algún factor en común, éste se puede simplificar. El resultado puede ser una fracción algebraica equivalente, o un polinomio.

Ejemplo 3

Simplificar la siguiente fracción algebraica y concluir si es un polinomio o una fracción algebraica. 
Factorizamos el numerador y el denominador: 
Vemos que el numerador y el denominador tienen un factor común, por lo tanto: 
Y el resultado es una fracción algebraica.


Ejemplo 4
Simplificar la siguiente fracción algebraica y concluir si es un polinomio o una fracción algebraica. 
Factorizamos el numerador y el denominador: 
Vemos que el numerador y el denominador tienen un factor común, por lo tanto: 
Y el resultado es una fracción algebraica.


Ejemplo 5

Simplificar la siguiente fracción algebraica y concluir si es un polinomio o una fracción algebraica.  Factorizamos el numerador y el denominador: 
Vemos que el numerador y el denominador tienen un factor común, por lo tanto: 
Y el resultado es un polinomio.



AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Como en una fracción, siempre podemos multiplicar el numerador y el denominador por un polinomio cualquiera. Esta estrategia se llamaamplificación o expansión y puede ser útil en algunas ocasiones.


Ejemplo 6
Expandir la siguiente fracción algebraica:  del tal manera que tenga un polinomio con raíz x=-1 en el denominador.

Basta multiplicar la fracción algebraica por la expresión x+1 tanto en el numerador como en el denominador: 
Ahora si se desea se pueden expandir los polinomios: 
El resultado es una fracción algebraica equivalente a la inicial.


Ejemplo 7
Expandir la siguiente fracción algebraica:  del tal manera que tenga un polinomio con raíz x=3 en el denominador.

Basta multiplicar la fracción algebraica por la expresión x-3 tanto en el numerador como en el denominador: 
Ahora si se desea se pueden expandir los polinomios: 
El resultado es una fracción algebraica equivalente a la inicial.